Question

【题目】已知分别为椭圆C： 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 轴，的周长为6．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）E,F是椭圆C上异于点的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ） ．

【解析】

（Ⅰ）根据 轴可得焦点的坐标；结合周长即可求得a的值，利用椭圆中a、b、c的关系求得椭圆的标准方程。

（Ⅱ）根据P点坐标，设出PE方程，联立直线与椭圆的方程，消y后得到关于x的一元二次方程，设出E、F坐标，利用韦达定理及直线的斜率与的斜率互为相反数的关系，求得直线的斜率。

（Ⅰ）由题意， ，，

的周长为6

，

椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）由(Ⅰ)知 ，

设直线PE方程： ，联立，消得

设 ， 点在椭圆上

，

又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，

，

即直线的斜率为定值，其值为 ．