Question

函数f（x）=x²-2（2a-1）x+8?（a∈R）．
（1）若f（x）在[2，+∞）的最小值为6，求a的值．
（2）若f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，且f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

由题意函数图象开口向上，且其对称轴为x=2a-1，
（1）当2a-1≥2，即a≥

3

2

时，有f（x）_min=f（2a-1）=6
   即（2a-1）²-2（2a-1）（2a-1）+8=6，即4a²-4a+9=6，即4a²-4a+3=0，由于△＜0，此方程无解
   当2a-1＜2，即a＜

3

2

时，有f（x）_min=f（2）=6
   即4-4（2a-1）+8=6，解得a=

5

4

＜

3

2

，符合题意．
   故a=

5

4

 （2）若f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，由题意知，需要2a-1≤a，解得a≤1   ①
   又由f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数知f（a）＞0，即a²-2（2a-1）a+8＞0
   解得-

4

3

＜a＜2
   又由①得-

4

3

＜a≤1
   故实数a的取值范围是-

4

3

＜a≤1