Question

已知抛物线x²=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）过M，N分别作抛物线C的切线l₁，l₂，试探求l₁与l₂的交点是否在定直线上，证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求的值；
（2）求导数，可得切线方程，联立方程，即可得到l₁与l₂的交点在定直线y=-a上．
解答：解：（1）设直线l方程为y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由消去y得x²-4kx-4a=0，所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a
∴=-4ak²+4ak²+a=a
故．…（6分）
（2）求导数，可得，设l₁方程为，整理得
同理得l₂方程为…（9分）
联立方程
x₂×（1）-x₁×（2）得，∴
故l₁与l₂的交点在定直线y=-a上．…（13分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查抛物线的切线，解题的关键是联立方程，确定切线的方程，属于中档题．