Question

已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=g（a_n）+1（n∈N^*），bn=

1

[ 1 2 f(n)+ 1 2 ][g(n)+3]

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使得Tn＞

m

150

对任意n∈N^*都成立的最大正整数m；
（Ⅲ）求证：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据Ⅰ可求出a₁的值且得到数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，进而根据等比数列的通项公式可得到a_n+1=2×2^n-1，进而得到a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）根据bn=

1

[ 1 2 f(n)+ 1 2 ][g(n)+3]

，可得到bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，进而根据裂项法可得到T_n的值，再由

Tn+1

Tn

＞1可知T_n＜T_n+1，故当n=1时，T_n取得最小值

1

15

，要使得Tn＞

m

150

对任意n∈N^*都成立只要T₁=

1

15

＞

m

150

即可，从而可求出m的值．
（Ⅲ）根据

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

对任意n≥1恒成立，再由放缩法可得到

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N^*），进而可得证．

解答：解：（Ⅰ）由题意a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∵a₁=1，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴a_n+1=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）∵bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

++

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

3×(2n+3)

=

n

6n+9

．
∵

Tn+1

Tn

=

n+1

6n+15

•

6n+9

n

=

6n2+15n+9

6n2+15n

＞1，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴当n=1时，T_n取得最小值

1

15

．
由题意得

1

15

＞

m

150

，
∴m＜10．
∵m∈Z，
∴m=9．
（Ⅲ）证明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，3，，n，
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

．

点评：本题主要考查求数列通项公式、裂项法求数列前n项和、用放缩法证明不等式的问题．考查基础知识的综合运用和计算能力．