Question

F₁，F₂为椭圆左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F₂向∠F₁AF₂的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是x²+y²=a²．类比可得：F₁，F₂为双曲线左、右焦点，A为双曲线上任意一点，过焦点F₂向∠F₁AF₂的    平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：延长F₁D、AF₂交于点C，由等腰三角形的“三线合一”证出△F₁AF₂是以F₁C为底的等腰三角形，D为F₁C的中点．利用三角形中位线定理证出|OD|=|F₂C|，再由|AC|=|F₁A|和双曲线的定义得到|F₂C|=|AC|-|F₂A|=|F₁A|-|F₂A|=2a，可得|OD|=a，从而得到点D的轨迹是以0为圆心半径为a的圆，由此可得本题答案．
解答：解：当点A在双曲线的右支时，如图所示
延长F₁D、AF₂，交于点C
∵AD是△F₁AC的角平分线，也是高线
∴△F₁AF₂是以F₁C为底的等腰三角形
D为F₁C的中点，可得OD是△F₁CF₂的中位线
由此可得|OD|=|F₂C|
∵△F₁AF₂中，|AC|=|F₁A|
∴|F₂C|=|AC|-|F₂A|=|F₁A|-|F₂A|
由双曲线的定义，得|F₁A|-|F₂A|=2a，可得|OD|=|F₂C|=a
同理可证：点A在双曲线的左支时，也有|OD|=a
因此，点D到原点0的距离为常数a，得点D的轨迹是以0为圆心半径为a的圆
即焦点F₂向∠F₁AF₂的内角平分线作垂线，垂足D的轨迹方程为x²+y²=a²
故答案为：内角   x²+y²=a²
点评：本题在已知椭圆的一个动点轨迹的情况下，推导关于双曲线的动点轨迹方程．着重考查了等腰三角形的判定、三角形中位线定理、双曲线的定义和动点轨迹的方程等知识，属于中档题．