Question

【题目】已知函数.

（1）若满足为上奇函数且为上偶函数，求的值；

（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；

（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据奇偶函数得到关于等式，对等式进行变形可得到的周期，再采用赋值的方法计算出的值；

（2）讨论与的关系，然后根据与周期的公倍数可求得的一个正周期；

（3）从充分性和必要性两个方面分别证明.

（1）因为满足为上奇函数，所以，所以，

又因为满足为上偶函数，所以，所以，

所以有，所以，所以，

所以，所以的一个周期为，

又因为，所以，又因为，所以，

又因为，所以，所以；

（2）因为，

所以，

因为，所以，

所以是周期函数，一个正周期为；

（3）充分性：当时，，

此时，所以充分性满足；

必要性：因为二次函数的广义周期为，

所以，所以，

所以，又因为不恒成立，

所以，所以，

又因为，所以，，

由可知：，即，所以必要性满足.

所以：对任意的，，成立的充要条件是.