Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（-x-6），且当x≥-3时，f（x）=4^x+1-2，若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实根x₀∈（k-1，k），则k的取值集合是

1. A.
   {-5，-1}
2. B.
   {-3，0}
3. C.
   {-4，0}
4. D.
   {-5，0}

Answer 1

D
分析：由题意可得函数f（x）的图象关于直线 x=-3对称，当x≥-3时，由函数的解析式求得k=0．当x≤-3时，由函数f（x）的图象的对称性可得k=-5，由此求得k的取值集合．
解答：∵f（x）=f（-x-6），∴函数f（x）的图象关于直线 x=-3对称．
当x≥-3时，f（x）=4^x+1-2，由于f（-1）=-1，f（0）=2，∴f（-1）•f（0）＜0，故f（x）=0的实根x₀∈（-1，0），此时，k=0．
故当x≤-3时，由函数f（x）的图象关于直线 x=-3对称，可得f（x）=0的实根x₀∈（-6，-5），此时，k=-5，
综上可得，k的取值集合是{-5，0}，
故选D．
点评：本题主要考查函数的图象的对称性，函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．