Question

（本小题满分14分）已知函数的导函数是，在处取得极值，且，

（1）求的极大值和极小值；

（2）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有

成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．

 

Answer 1

（1）极大值为，极小值为；（2）；（Ⅲ）直线斜率的最小值为4，，理由祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）依题意，f'（3）=0，解得m=-6，由已知可设f（x）=x3-6x2+9x+p，因为f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的极大值和极小值．

（2）当0＜t≤1时，由（1）知f（x）在[0，t]上递增，所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t3-6t2+9t，由F（t）≥λt对任意的t恒成立，得t3-6t2+9t≥λt，则λ≤t2-6t+9=（t-3）2，由此能求出λ的取值范围．

（Ⅲ）当x∈（0，1]时，直线OM斜率，因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，则4≤（x-3）2＜9，即直线OM斜率的最小值为4．由此能够导出f（x）＞4s1nx．

试题解析： （1）依题意，，解得， 1分

由已知可设，

因为，所以，

则，导函数． 3分

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	递增	极大值4	递减	极小值0	递增

 

由上表可知在处取得极大值为，

在处取得极小值为． 5分

（2）①当时，由（1）知在上递增，

所以的最大值， 6分

由对任意的恒成立，得，

则，因为，所以，则，

因此的取值范围是． 8分

②当时，因为，所以的最大值，

由对任意的恒成立，得， ∴，

因为，所以，因此的取值范围是， 9分

综上①②可知，的取值范围是． 10分

（Ⅲ）当时，直线斜率，

因为，所以，则，

即直线斜率的最小值为4． 11分

首先，由，得.

其次，当时，有，所以， 12分

证明如下：

记，则，

所以在递增，又，

则在恒成立，即，所以 . 14分

考点：1. 利用导数求闭区间上函数的最值；2. 利用导数研究函数的极值．