Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于x=1对称且f(

1

2

)=0，则方程f（x）=0在（0，5）内解的个数的最小值是（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：由题意可得f（2-x）=f（x），f（x+2）=-f（x），f（x+4）=f（x），再由f（0）=0、f（

1

2

）=0，求得 f（

3

2

）=f（2）=f（

5

2

）=f（

7

2

）=f（4）=f（

9

2

）=0，从而结合所给的选项得出结论．

解答：解：函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4．
又定义在R上的奇函数，故f（0）=0．
∵f（

1

2

）=0，∴f（

3

2

）=f（2-

1

2

）=f（

1

2

）=0，f（2）=f（0）=0，
f（

5

2

）=f（2+

1

2

）=-f（

1

2

）=0，f（

7

2

）=f（2+

3

2

）=-f（

3

2

）=0，
 f（4）=f（0）=0，f（

9

2

）=f（

5

2

+2）=-f（

5

2

）=0，
故函数f（x）的零点在（0，5）内的个数的最小值为7，
即方程f（x）=0在（0，5）内解的个数的最小值是7，
故选 D．

点评：本题主要考查函数的周期性、奇偶性的应用，方程根的存在性及个数判断，函数的零点与方程的根的关系，
属于中档题．