Question

3．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₄=9，a₃+a₇=22．
（1）求a_n和S_n；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）a₃+a₇=22=2a₅，∴a₅=11．
∴公差d=11-9=2，a₁+3d=9，解得a₁=3．
∴a_n=2n+1，
${S_n}=\frac{n（3+2n+1）}{2}={n^2}+2n$．
（2）${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$${b_n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．