Question

14．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100，100），已知满分为150分．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（80，120）内的概率；
（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数．
①P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.3%；
②P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.4%；
③P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=99.7%．

Answer 1

分析 （1）根据考生的成绩ξ～N（100，100），得到正态曲线关于x=100对称，根据3σ原则知P（80＜x＜120）=P（100-2×10＜x＜100+2×10）=0.9544；
（2）P（90＜x＜110）=P（100-10＜x＜100+10）=0.683，再根据对称性得到结果．

解答 解：（1）∵考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100，100），
∴正态曲线关于x=100对称，且标准差为10，
根据3σ原则知P（80＜x＜120）=P（100-2×10＜x＜100+2×10）=0.9544，
（2）P（90＜x＜110）=P（100-10＜x＜100+10）=0.683，
考试成绩X位于区间（90，110）上的概率为0.683，
则考试成绩在90分以上的概率是=0.5+$\frac{1}{2}$×0.683=0.8415
∴估计这次考试及格（不小于90分）的人数为2000×0.8415=1683人．

点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是注意利用正态曲线的对称性．