Question

【题目】已知函数f（x）=（ ）x ， 函数g（x）=log x．
（1）若g（ax2+2x+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[（ ）t+1 ， （ ）t]时，求函数y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；
（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=log f（x2）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 定义域为R；

所以ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立；

当a=0时，2x+1＞0不可能对一切x∈R成立；

所以 即： ；

综上 a＞1．

（2） ；

令 ；

所以y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；

当t≥1时， ；

当0＜t＜1时，ymin=1；

当t≤0时， ；

所以 ；

（3）y=x2在[0，+∞）上是增函数；

若存在非负实数m、n满足题意，则 ；

即m、n是方程x2=2x的两非负实根，且m＜n；

所以m=0，n=2；

即存在m=0，n=2满足题意．

【解析】（1）要求g（ax2+2x+1）的定义域，只需ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立，列出不等式求解即可，（2）构造函数，令u = ∈ [ t ， t + 1 ],进行换元可得y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；对t进行分类讨论得出最小值即可，（3）根据函数的单调性，可列出方程组，即m、n是方程x2=2x的两非负实根，且m＜n，所以m=0，n=2.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．