Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实根之和为（　　）

• A、-5
• B、-6
• C、-7
• D、-8

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．

解答： 解：∵f（x）=

x2+2，    x∈[0，1) 2-x2，     x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=

x2，     x-2∈[0，1)  -x2，   x-2∈[-1，0)

；
又g（x）=

2x+5

x+2

，
∴g（x）=2+

1

x+2

，
∴g（x-2）-2=

1

x

，
当x≠2k-1，k∈Z时，
上述两个函数都是关于（-2，2）对称，；
由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的实根有3个，
x₁=-3，x₂满足-5＜x₂＜-4，x₃满足0＜x₃＜1，x₂+x₃=-4；
∴方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实根之和为-7．
故答案为；C．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．