Question

11．已知函数f（x）=cos²x+（m-2）sinx+m，x∈R，m是常数．
（1）当m=1时，求函数f（x）的值域；
（2）当$m=-\frac{7}{2}$时，求方程f（x）=0的解集；
（3）若函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，化简函数的解析式，利用正弦函数的最值以及二次函数的最值求解即可．
（2）当$m=-\frac{7}{2}$时，化简f（x）=0，即$-{sin^2}x+（{-\frac{7}{2}-2}）sinx-\frac{7}{2}+1=0$，求解即可．
（3）利用换元法1+sinx=t，求出自变量的范围，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 解：f（x）=cos²x+（m-2）sinx+m=1-sin²x+（m-2）sinx+m=-sin²x+（m-2）sinx+m+1…（1分）
（1）当m=1时，$f（x）=-{sin^2}x-sinx+2=-{（{sinx+\frac{1}{2}}）^2}+\frac{9}{4}$
当$sinx=-\frac{1}{2}$时，$f{（x）_{max}}=\frac{9}{4}$，当sinx=1时，f（x）_min=0
所以，当m=1时，函数f（x）的值域是$[{0，\frac{9}{4}}]$；…（5分）
（2）当$m=-\frac{7}{2}$时，方程f（x）=0即$-{sin^2}x+（{-\frac{7}{2}-2}）sinx-\frac{7}{2}+1=0$，
即2sin²x+11sinx+5=0，解得$sinx=-\frac{1}{2}$，（sinx=-5已舍）…（8分）$x=2kπ+\frac{4π}{3}$，和$x=2kπ+\frac{5π}{3}，k∈Z$
所以，当$m=-\frac{7}{2}$时，方程f（x）=0的解集是$\left\{{x|x=2kπ+\frac{4π}{3}，或x=2kπ+\frac{5π}{3}，k∈Z}\right\}$…（10分）
（3）由f（x）=0，得-sin²x+（m-2）sinx+m+1=0，-sin²x+（m-2）sinx+m+1=0，
（1+sinx）m=sin²x+2sinx-1，
∵$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，∴1+sinx≠0，
∴$m=\frac{{{{sin}^2}x+2sinx-1}}{1+sinx}=\frac{{{{（{1+sinx}）}^2}-2}}{1+sinx}$…（13分）
令1+sinx=t，∵$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，∴$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$$m=t-\frac{2}{t}，t∈[{\frac{1}{2}，2}]$
令$g（t）=t-\frac{2}{t}，t∈[{\frac{1}{2}，2}]$
设$\frac{1}{2}≤{t_1}＜{t_2}≤2，g（{t_1}）-g（{t_2}）=（{{t_1}-\frac{2}{t_1}}）-（{{t_2}-\frac{2}{t_2}}）=（{{t_1}-{t_2}}）-（{\frac{2}{t_1}-\frac{2}{t_2}}）$=$（{{t_1}-{t_2}}）-\frac{{2（{{t_2}-{t_1}}）}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{（{{t_1}-{t_2}}）（{{t_1}{t_2}+2}）}}{{{t_1}{t_2}}}＜0$，
∴g（t₁）＜g（t₂），∴g（t）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上是增函数，
∴g（t）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的值域是$[{-\frac{7}{2}，1}]$，
∴m∈$[{-\frac{7}{2}，1}]$…（16分）．

点评 本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力．