Question

在直角坐标平面上有两个区域M和N．M是由y≥0，y≤x和y≥2－x这三个不等式确定的．N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1的确定，t的取值范围是0≤t≤1．设M和N的公共面积是函数f(t)，求证：f(t)＝－t²＋t＋．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路与技巧：这是一个基本问题，关键是确定M和N的公共部分的形状．可先画出M、N这两个区域，然后再作判断．

　　证明：如图所示，依题意，区域M是图中△AOB，区域N是直线x＝t与x＝t＋1(0≤t≤1)之间的带形域．M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF(包括边界)，其面积可由△AOB的面积减去Rt△ODC、Rt△BEF的面积进行计算．

　　

　　评析：关于五边形ACDEF面积的计算，可从下面三个途径去考虑：

　　(1)△AOB的面积减去Rt△ODC、Rt△BEF的面积；

　　(2)过A作x轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；

　　(3)连结CF，将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解．