Question

12．已知：如图圆O的两条弦AD∥BC，以A为切点的切线交CB延长线于P．求证：
（1）AC²=PC•AD；
（2）AB²=PB•AD．

Answer 1

分析 （1）在△DCA和△APC中，证明∠DAC=∠ACP，∠DCA=∠P，所以△DCA∽△APC，即可证明AC²=PC•AD；
（2）证明△DCA～△BPA，结合AB=DC，即可证明AB²=PB•AD．

解答 证明：（1）因为PE是以A为切点的切线，所以∠EAD=∠DAC，
又因为AD∥BC，所以∠EAD=∠P，∠DAC=∠ACP，
所以在△DCA和△APC中，∠DAC=∠ACP，∠DCA=∠P，
所以△DCA∽△APC，所以$\frac{AD}{CA}=\frac{CA}{PC}$，所以AC²=PC•AD．（5分）
（2）因为PA是切线，所以∠PAB=∠ACP，所以∠DAC=∠PAB，
又因为∠DCA=∠P，所以△DCA～△BPA，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BP}$，
又由AD∥BC，所以AB=DC，所以AB²=PB•AD．（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查圆的切线的性质，正确证明三角形相似是关键．