Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3-{a}_{n}}（{a}_{n＞1）}}\\{2{a}_{n}（{a}_{n}≤1）}\end{array}\right.$，若a₃=a₁成立，则a在（0，1]内的可能值有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据题意对a进行分类讨论，分别根据递推公式和条件列出方程，求出a在（0，1]内的所有值．

解答 解：由题意知，a₁=a∈（0，1]，a₂=2a∈（0，2]，
①当a∈（0，$\frac{1}{2}$]时，
则a₂=2a∈（0，1]，所以a₃=2a₂=4a，
由a₃=a₁得，4a=a，得a=0（舍去）；
②当a∈（$\frac{1}{2}$，1]时，a₂=2a∈（1，2]，
所以a₃=$\frac{1}{3-{a}_{2}}$=$\frac{1}{3-2a}$，
由a₃=a₁得，$\frac{1}{3-2a}$=a，得a=1或a=$\frac{1}{2}$（舍去），
综上得，a=1，即a在（0，1]内的可能值有1个，
故选：D．

点评 本题考查数列的递推式的应用，以及分类讨论思想、方程思想的运用，属于中档题．