Question

7．设f（x）=（a-x）e^x-1．
（Ⅰ）当x＞0时，f（x）＜0，求实数a的最大值；
（Ⅱ）设$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，x₁=1，${e^{{x_{n+1}}}}=g（{x_n}）（{n∈{N^*}}）$，证明${x_n}＞{x_{n+1}}＞\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对函数求导，分类讨论n的取值，根据函数的单调性及极值情况即可判断；
（Ⅱ）利用数学归纳法，构造函数，求导根据函数的单调性，比较自变量的大小．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（a-x）e^x-e^x=（a-x-1）e^x，令f′（x）=0
解得：x=a-1，
当a-1≤0时，f′（x）≤0，在x＞0时恒成立，
∴f（x）在上（0，+∞）单调递减；
∴f（x）＜f（0）=a-1≤0，即当x＞0时，f（x）＜0，成立，
当a-1＞0时，函数f（x）在（0，a-1）上单调递减增，在（a-1，+∞）单调递减；
∴?x₀=a-1＞0，f（x₀）＞f（0）=a-1＞0，
与x＞0时，f（x）＜0矛盾，以实数a的最大值为1；
（Ⅱ）证明：x_n+1＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，
当n=1时，${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{x}_{1}}-1}{{x}_{1}}$=e-1＞$\sqrt{e}$，
∴x₂＞$\frac{1}{2}$，显然成立，
假设当n=k时，（k∈N*），x_k+1＞$\frac{1}{{2}^{k}}$，
${e}^{{x}_{k+2}}$=g（x_k+1）＞g（$\frac{1}{{2}^{k}}$），下证g（$\frac{1}{{2}^{k}}$）≥$e\frac{1}{{2}^{k+1}}$=${e}^{\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{k}}}$，
构造函数h（x）=x（g（x）-${e}^{\frac{x}{2}}$），
则h′（x）=e^x-（1+$\frac{x}{2}$）${e}^{\frac{x}{2}}$=${e}^{\frac{x}{2}}$[${e}^{\frac{x}{2}}$-（1+$\frac{x}{2}$）]＞0，
∴h（x）在（0，+∞）是增函数，
h（$\frac{1}{{2}^{k}}$）＞0，
∴g（$\frac{1}{{2}^{k}}$）＞$\frac{1}{{e}^{{2}^{k+1}}}$，
∴${e}^{{x}_{k+1}}$＞$\frac{1}{{e}^{{2}^{k+1}}}$，x_k+1＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
由数学归纳法可知：对于正整数n，x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，
由（1）可知：a=1时，x＞0，f（x）＜0，
f（x_n）=（1-x_n）${e}^{{x}_{n}-1}$＜0，x_n•${e}^{{x}_{n}}$＞${e}^{{x}_{n}}$-1=x_n•${e}^{{x}_{n+1}}$，
∴${e}^{{x}_{n}}$＞eⁿ⁺¹，即x_n+1＜x_n，
∴${x_n}＞{x_{n+1}}＞\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$．

点评 本题考查利用导数求函数的单调性，利用构造法即数学归纳法证明不等式成立，考查转化思想，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．