Question

16．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（ III）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．
（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A-MC-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴AD⊥DC，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥DC，
∵PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．
解：（Ⅱ）∵四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，
∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），
设直线AC与PB所成角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线AC与PB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（III）A（0，0，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），C（1，1，0），B（0，2，0），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），
设平面ACM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
设平面BCM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=-b+\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
设二面角A-MC-B的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$．
∵二面角A-MC-B是钝二面角，
∴二面角A-MC-B的余弦值为-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．