Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：
    ①点S恒在椭圆C上；
    ②求△MST面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）化直线方程为直线系方程，然后联立方程组求出定点F的坐标，得到c的值，然后由椭圆上的点到焦点F的最大距离为3得到a+c=3，求出a的值，结合b²=a²-c²可得b得值，则答案可求；
（2）①设出直线MN的方程，求出M和N的坐标，然后写出MF和NF所在的直线方程，联立后得到S点的坐标，代入椭圆方程后成立，则问题得到证明．
②设出直线MS的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系得到M，S两点的纵坐标的和与积，然后代入面积公式，换元后利用“对勾函数”的单调性求得答案．

解答：解：（1）直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0可化为
m（x-2y-1）+3x+y-3=0，
所以

x-2y-1=0 3x+y-3=0

，解得

x=1 y=0

．
所以F（1，0）．则c=1，又a+c=3，所以a=2，则b²=a²-c²=3．
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）①设直线MN的方程为x=s，M的坐标为（s，t），N的坐标为（s，-t）．
且s、t满足3s²+4t²=12．
MF的直线方程为y=

t

s-1

(x-1)，NT的直线方程为y=

-t

s-4

(x-4)．
联立解得交点S（

5s-8

2s-5

，

3t

2s-5

），代入椭圆方程3x²+4y²=12得，
3（5s-8）²+36t²=12（2s-5）²，化简得：3s²+4t²=12．
所以点S恒在椭圆C上；
②直线MS过点F（1，0），设方程为x=my+1，M（x₁，y₁），S（x₂，y₂）．
S△MST=

1

2

×3|y1-y2|=

3

2

(y1+y2)2-4y1y2

．
联立

x=my+1 3x2+4y2=12

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
所以S△MST=18

m2+1 (3m2+4)2

．
设m²+1=u（u≥1），则

m2+1

(3m2+4)2

=

u

(3u+1)2

=

1

9u+ 1 u +6

．
由对勾函数可知9u+

1

u

在（0，

1

3

）上位减函数，（

1

3

，+∞）上为增函数，
所以9u+

1

u

的最小值为10．
所以S△MST≤18×

1

4

=

9

2

．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题方法，考查了利用函数的单调性求最值，该题综合性较强，需要学生具有较好的理解能力和计算能力，是难题．