【题目】如图,在平面直角坐标系内从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记点的坐标为(,0)(k=1,2,…,n).
(1)试求与的关系(k=2,…,n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
【答案】(1)xk=xk-1-1(k=2,…,n);(2).
【解析】试题分析:(I)设出Pk-1的坐标,求出Qk-1,利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率,利用点斜式求出切线方程,令y=0得到xk与xk+1的关系.
(II)求出|PkQk|的表达式,利用等比数列的前n项和公式求出和
试题解析:(1)设点Pk-1的坐标是(xk-1,0),
∵y=ex,∴y′=ex,
∴Qk-1(xk-1,exk-1),在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程是y-exk-1=exk-1(x-xk-1),令y=0,则
xk=xk-1-1(k=2,…,n);
(2)∵x1=0,xk-xk-1=-1,
∴xk=-(k-1),
∴|PkQk|=exk=e-(k-1),
于是有|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)
==,
即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|=.
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【题目】已知函数f(x)=4sinxcos(x+)+1.
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
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【题目】已知二次函数f(x)=x2+bx+c,若对任意的x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤6,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数(其中a为常数).
(1)当a=1时,求f(x)在上的值域;
(2)若当x∈[0,1]时,不等式恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设,是否存在正数a,使得对于区间上的任意三个实数m,n,p,都存在以f(g(m)),f(g(n)),f(g(p))为边长的三角形?若存在,试求出这样的a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数f(x)=x3+ax2+bx+1的导数满足,,其中常数a,b∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设,求函数g(x)的极值.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1 , x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
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