Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（1）求a的取值范围；
（2）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，

∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），

①若a=0，那么f（x）=0（x﹣2）ex=0x=2，

函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；

②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，

当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；

当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；

此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，

由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；

当x＜1时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，

∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，

令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，

则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，

故函数f（x）在x＜1存在一个零点；

即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；

③若﹣ ＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，

当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，

ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，

当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，

由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣1]2+1}＜0得：

函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；

④若a=﹣ ，则ln（﹣2a）=1，

当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

故函数f（x）在R上单调递增，

函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；

⑤若a＜﹣ ，则ln（﹣2a）＞lne=1，

当x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，

当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

故当x=1时，函数取极大值，

由f（1）=﹣e＜0得：

函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；

综上所述，a的取值范围为（0，+∞）

（2）

证明：∵x1，x2是f（x）的两个零点，

∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，

∴﹣a= = ，

令g（x）= ，则g（x1）=g（x2）=﹣a，

∵g′（x）= ，

∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= = ，

设h（m）= ，m＞0，

则h′（m）= ＞0恒成立，

即h（m）在（0，+∞）上为增函数，

h（m）＞h（0）=0恒成立，

即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，

令m=1﹣x1＞0，

则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）2﹣x1＞x2，

即x1+x2＜2．

【解析】利用导数研究函数的极值；函数的零点.（1）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（2）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，则﹣a= = ，令g（x）= ，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= ，
设h（m）= ，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论.本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数和函数的零点，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点即可以解答此题．