Question

【题目】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，

P（X=16）=（ ）2= ，

P（X=17）= ，

P（X=18）=（ ）2+2（ ）2= ，

P（X=19）= = ，

P（X=20）= = ，

P（X=21）= = ，

P（X=22）= ，

∴X的分布列为：

X	16	17	18	19	20	21	22
P

（2）

解：由（1）知：

P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）

= ．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= ．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19

（3）

解：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= ．

买19个所需费用期望：

EX1=200× +（200×19+500）× +（200×19+500×2）× +（200×19+500×3）× =4040，

买20个所需费用期望：

EX2= +（200×20+500）× +（200×20+2×500）× =4080，

∵EX1＜EX2，

∴买19个更合适

【解析】离散型随机变量及其分布列.（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）由X的分布列求出P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（3）由X的分布列得P（X≤19）= ．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2 ， 由此能求出买19个更合适.本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．