Question

【题目】设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c

（2）

解：设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，

由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，

由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），

当x＞﹣ 或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；

当﹣2＜x＜﹣ 时，g′（x）＜0，g（x）递减．

即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；

g（x）在x=﹣ 处取得极小值，且为﹣ ．

由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣ ＜﹣c＜0，

解得0＜c＜ ，

则c的取值范围是（0， ）

（3）

证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，

可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．

即有f（x）有3个单调区间，

即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，

可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；

若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，

当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，

即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．

故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

【解析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．
不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．