Question

【题目】如图，四边形ABCD是圆柱OO′的轴截面，点P在圆柱OO′的底面圆周上，圆柱OO′的底面圆的半径OA=1，侧面积为2π，∠AOP=60°．

（1）求证：PB⊥平面APD；

（2）是否存在点G在PD上，使得AG⊥BD；并说明理由．

（3）求三棱锥D-AGB的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）.

【解析】

（1）由为圆的直径，可得，再由平面，得，然后利用线面垂直的判定可得平面；

（2）存在，当点是中点时，．由侧面积公式求得，进一步得到，由是的中点，可得，再由（1）得，由线面垂直的判定可得平面，则；

（3）直接利用等积法求三棱锥的体积．

（1）证明：∵AB为圆O的直径，∴PB⊥PA，

∵AD⊥平面PAB，∴PB⊥AD，

又PA∩AD=A，∴PB⊥平面APD；

（2）解：存在．当点G是PD中点时，AG⊥BD．

事实上，由题意可知，2π×1×AD=2π，解得AD=1．

由∠AOP=60°，可得△AOP为等边三角形，得到AP=OA=1．

在Rt△PAD中，∵AD=AP，G是PD的中点，

则AG⊥PD．由（1）得PB⊥AG，PD∩PB=P，

∴AG⊥平面PBD，则AG⊥BD；

（3），

在Rt△APB中，∵AB=2，AP=1，∴PB=，

∴．

∴．