【题目】已知函数
.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知
, 
(其中
是自然对数的底数), 求证：
.
【答案】(1) 增区间是(0,e), 减区间是
；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）函数的定义域为
，求解导函数可得
，
利用导函数与原函数的单调性的关系可得f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.
（2）利用分析法，由于
，则两边取对数，原问题等价于证明:
，即
.结合(1)中函数的单调性可得该不等式明显成立，故原命题得证.
试题解析：
（1）函数的定义域为，且，
∴当
时,
, ∴函数
在上是单调递减.
当0<x<e时,
, ∴函数在(0,e)上是单调递增.
∴f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.
（2）∵∴要证: 
，
只需两边取对数证明:.
只需证. (∵
)，
由（1）得函数在上是单调递减.
∴当时,有
，即. 原命题得证.
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【题目】已知圆M的方程为x 2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当
时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
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【题目】如图，四边形ABCD是圆柱OO′的轴截面，点P在圆柱OO′的底面圆周上，圆柱OO′的底面圆的半径OA=1，侧面积为2π，∠AOP=60°．
（1）求证：PB⊥平面APD；
（2）是否存在点G在PD上，使得AG⊥BD；并说明理由．
（3）求三棱锥D-AGB的体积．
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【题目】将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 
π，A1B1长为 
，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；
（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．
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【题目】已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，
，
分别为椭圆的左、右焦点，过的直线
与相交于
、
两点，
的周长为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在点
，使得四边形
为平行四边形，求此时直线的方程．
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【题目】已知椭圆 C:
离心率
，短轴长为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线
（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
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