Question

【题目】将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 π，A1B1长为 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．

（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；
（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1= ，

∴△O1A1B1为正三角形，

∴ = ，

= =

（2）

解：

设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，

∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），

BB1=AA1=1，

连结BC、BO、OC，

∠AOB=∠A1O1B1= ， ，∴∠BOC= ，

∴△BOC为正三角形，

∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，

∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．

【解析】（1）连结O1B1 ， 推导出△O1A1B1为正三角形，从而 = ，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．
（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1 ， 则BB1∥AA1 ， ∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．
本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．