Question

【题目】如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：

①PC∥平面OMN；

②平面PCD∥平面OMN；

③OM⊥PA；

④直线PD与直线MN所成角的大小为90°．

其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

连接AC，易得PC∥OM，可判结论①．

证得平面PCD∥平面OMN，可判结论②正确．

由勾股数可得PC⊥PA，得到OM⊥PA，可判结论③正确．

根据线线平行先找到直线PD与直线MN所成的角为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，可判④错误．

如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．

同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．

由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2＝PA2+PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．

由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误．

故答案为：①②③．