【题目】已知为定义在
上的奇函数,当
时,函数解析式为
.
(Ⅰ)求的值,并求出
在
上的解析式;
(Ⅱ)求在
上的最值.
【答案】(Ⅰ)在
上的解析式为f(x)=2x-4x ;(Ⅱ)函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0,-2.
【解析】
试题(Ⅰ)由于f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,故f(0)=0,即f(0)==1-=0.从而
=1.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0].由f(-x)=-f(x)即可得在
上的解析式.(Ⅱ)当x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,设t=2x(t>0),则f(t)=t-t2.这样转化为求二次函数在给定区间上的最大值,最大值.
试题解析:解:(Ⅰ)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即f(0)==1-=0.
∴=1.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0].
∴f(-x)=-
=4x-2x.
又∵f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=4x-2x.
∴f(x)=2x-4x.
所以,在
[上的解析式为f(x)=2x-4x
(Ⅱ)当x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,
∴设t=2x(t>0),则f(t)=t-t2.
∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].
当t=1时,取最大值,最大值为1-1=0.
当t=0时,取最小值为-2.
所以,函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0,-2.
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【题目】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);当x> 时,f(x+
)=f(x﹣
).则f(6)=( )
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.2
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【题目】如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的重心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:
①PC∥平面OMN;
②平面PCD∥平面OMN;
③OM⊥PA;
④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.
其中正确结论的序号是______.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是
;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2ax+3a+2.
(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;
(2)若函数f(x)的函数值均为非负实数,求g(a)=2-a|a+3|的取值范围.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
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