Question

称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②.
（1）若数列的通项公式是，
试判断数列是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；
（2）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；
（3）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

Answer 1

（1）是；
（2）．或；
（3）；

试题分析：（1）判断数列是不是为2014阶“期待数列”，就是根据定义计算，，是不是一个为0，一个为1，如是则是“期待数列”，否则就不是；（2）数列中等比数列，因此是其前和，故利用前前项和公式，分和进行讨论，可很快求出，或；（3）阶等差数列是递增数列，即公差，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前项为正，后项为正，因此有，，这两式用基本量或直接相减可求得，，因此通项公式可得．
试题解析：（1）因为，          2分
所以

，
所以数列为2014阶“期待数列”           4分
（2）①若，由①得，，得，矛盾．     5分
若，则由①=0，得，     7分
由②得或．
所以，．数列的通项公式是
或            9分
（3）设等差数列的公差为，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，         11分
由①、②得，，     13分
两式相减得，， ∴，
又，得，
∴数列的通项公式是．  16分和公式与通项公式；（3）等差数列的前和公式与通项公式．