Question

已知不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解不等式

t-x

ax+b

＞0（t为常数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax²-3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；
（Ⅱ）把原不等式分子提取-1，在不等式两边同时除以-1，不等号方向改变，当t=-2时，显然原不等式无解；当t不等于-2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与-2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax²-3x+2=0的两个解，
∴把x=1代入方程得：a-3+2=0，解得a=1，
则方程为x²-3x+2=0，即（x-1）（x-2）=0，
可得方程的另一解为2，即b=2，
∴a=1，b=2；
（Ⅱ）原不等式可化为：

x-t

x+2

＜0，
显然当t=-2时，不等式不成立，即解集为空集；
当t≠-2时，原不等式可化为：

x-t＞0 x+2＜0

或

x-t＜0 x+2＞0

，
当t＞-2时，解得：-2＜x＜t；
当x＜-2时，解得t＜x＜2，
综上，原不等式的解集为：

t=-2时，∅ t＞-2时，(-2，t) t＜-2时，(t．-2)

．

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是高考中常考的题型．