Question

8．椭圆$\frac{4}{25}{x^2}+\frac{y^2}{5}$=1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a₁，最大弦长为a_n，若公差为d$∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]，那么n$的取值集合为（　　）

• A． {4，5，6，7}
• B． {4，5，6}
• C． {3，4，5，6}
• D． {3，4，5，6，7}

Answer 1

分析 先求出椭圆的a，b，c，根据椭圆方程求得过右焦点的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n项，再根据等差数列的公差d∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]，求出n的取值集合．

解答 解：椭圆$\frac{4}{25}{x^2}+\frac{y^2}{5}$=1的a=$\frac{5}{2}$，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
右焦点为（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0），令x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，代入椭圆方程可得y=±$\sqrt{5}$×$\sqrt{1-\frac{4}{25}×\frac{5}{4}}$=±2，
则过右焦点的最短弦的弦长为a₁=4，最长弦长为圆的直径长a_n=5，
∴4+（n-1）d=5，d=$\frac{1}{n-1}$，
∵d∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]，
∴$\frac{1}{6}$≤$\frac{1}{n-1}$≤$\frac{1}{3}$，
∴4≤n≤7，n∈N，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，以及等差数列的通项公式等知识，解题时要学会使用椭圆的几何性质解决椭圆的弦长问题，提高解题速度．