Question

如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：PC⊥CD；
（2）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；
（3）若PA=3，求三棱锥B-PCD的体积．

Answer 1

分析：（1）要证明PC⊥CD，只需证明CD⊥平面PAC即可，即证明AC⊥CD，PA⊥CD；
（2）E是PA的中点，取AD的中点为F，连接BF，EF；要证明：BE∥平面PCD，只需证明平面BEF∥平面PCD即可．
（3）PA=3，求三棱锥B-PCD的体积，就是求P-BCD的体积，求出三角形BCD的面积，即可求解几何体的体积．

解答：解：（1）由已知易得AC=

2

，CD=

2

．（1分）
∵AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．（2分）
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．（3分）
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．（4分）
∵PC?平面PAC，
∴CD⊥PC．（5分）

（2）取AD的中点为F，连接BF，EF．
∵AD=2，BC=1，
∴BC∥FD，且BC=FD，
∴四边形BCDF是平行四边形，即BF∥CD．（6分）
∵BF?平面PCD，
∴BF∥平面PCD．（7分）
∵E，F分别是PA，AD的中点，
∴EF∥PD．
∵EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．（9分）
∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PCD．（10分）
∵EF?平面BEF，
∴BE∥平面PCD．（11分）

（3）由已知得S△BCD=

1

2

×1×1=

1

2

，（12分）
所以，VB-PCD=VP-BCD=

1

3

×PA×S△BCD=

1

3

×3×

1

2

=

1

2

．（14分）

点评：本题主要考查线线垂直、线面平行、求锥体体积等立体几何知识，以及分析问题与解决问题的能力．