Question

8．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A，B，C，D的极坐标分别为（2，$\frac{π}{6}$）、（2，$\frac{5π}{6}$）、（2，$\frac{7π}{6}$）、（2，$\frac{11π}{6}$）
（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用互化公式即可得出．
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），可得S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=20+12cos²θ，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标分别为A（$\sqrt{3}$，1），B（-$\sqrt{3}$，1），
C（-$\sqrt{3}$，-1），D（$\sqrt{3}$，-1）．
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²，
则S=16cos²θ+4sin²θ+16=20+12cos²θ，∵0≤cos²θ≤1，∴S的取值范围是[20，32]．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、两点之间距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．