Question

4．已知$f（x）=sin（{x-\frac{3}{2}π}）•sin（{\frac{5}{2}π+x}）+cos（{\frac{3}{2}π-x}）+a（{a∈R}）$
（Ⅰ）化简函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若a=1，求f（x）的值域；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=cos²x-sinx+a；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，由二次函数区间的最值可得；
（Ⅲ）方程f（x）=0有解等价于$a={（{sinx+\frac{1}{2}}）^2}-\frac{5}{4}$，由二次函数区间的值域可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得
f（x）=cosx•cosx-sinx+a
=cos²x-sinx+a；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=cos²x-sinx+1
=-sin²x-sinx+2=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
由二次函数知识可得f（x）的值域为[0，$\frac{9}{4}$]；
（Ⅲ）方程f（x）=0有解等价于$a={（{sinx+\frac{1}{2}}）^2}-\frac{5}{4}$，
∴a的取值范围$[{-\frac{5}{4}，\;\;1}]$

点评 本题考查和差角的三角函数，涉及二次函数区间的值域，属中档题．