Question

已知实数x，y满足

x≥1 y≥1 x+y≤5

时，z=

x

a

+

y

b

（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=

x

a

+

y

b

（a≥b＞0）的最大值为1，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=

x

a

+

y

b

（a≥b＞0）得y=-

b

a

x+bz，
∵a≥b＞0，
∴直线斜率k=-

b

a

∈[-1，0），
平移直线y=-

b

a

x+bz，当直线y=-

b

a

x+bz经过点A时，y=-

b

a

x+bz的截距最大，此时z最大为1，
由

x=1 x+y=5

，解得

x=1 y=4

，即A（1，4），
此时

1

a

+

4

b

=1，
∴a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）
=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，
当且仅当

b

a

=

4a

b

即b=2a时取等号，
但此时不满足a≥b，
∴基本不等式不成立，
设t=

b

a

，∵a≥b＞0，∴0＜t≤1，
则g（t）=5+t+

4

t

在（0，1]上是单调递减的，
∴当t=1时，g（t）=5+t+

4

t

取得最小值g（1）=5+1+4=10
∴a+b的最小值为10，
故答案为：10．

点评：本题主要考查线性规划和基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．当基本不等式不成立时，要使用函数f（x）=x+

a

x

，a＞0的单调性来解决．