Question

（本小题12分）

如图，曲线是以原点为中心，以、为焦点的椭圆的一部分，曲线 是以为顶点，以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点，且为钝角，若，．

（I）求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程；

（II）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线、依次交于、、、四点（如图），若为的中点，为的中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为（2）是定值3

解析:

（I）设椭圆方程为，抛物线方程为，过作垂直于轴的直线，即抛物线准线，作垂直于该准线，作轴于点，则由抛物线的定义得

所以

所以，，

由，得，

所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．    5分

（II）设，，，

由已知得直线的斜率一定存在，故可设直线的方程为

由，得

得，                      7分

同理，由，得

得，                                 9分

所以

，为定值．           12分