Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=s_n²其中s_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：a_n²=2s_n-a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）令n=1代入a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，可得a₁的值，然后推出S_n-1²的表达式，与S_n²相减可得a_n²=2S_n-a_n，从而求证；
（2）由（1）得a_n²=2S_n-a_n利用递推公式，得a_n-1²的表达式，从而可得数列a_n是首项为1，公差为1的等差数列．

解答：解：（1）由已知得，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
当n≥2时，a₁³+a₂³++a_n³=S_n²①
a₁³+a₂³++a_n-1³=S_n-1²②
由①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1）
∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n（n≥2）
显然当n=1时，a₁=1适合上式．
故a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）
（2）由（1）得，a_n²=2S_n-a_n③
a_n-1²=2S_n-1-a_n-1（n≥2）④
由③-④得，a_n²-a_n-1²=2S_n-2S_n-1-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故数列a_n是首项为1，公差为1的等差数列．
∴a_n=n（n∈N^*）

点评：本题主要考查了等比数列的性质及递推公式的应用，难度比较大，此题综合性较强，属于中档题．