Question

7．已知条件p：关于x的函数y=（10-a²）^x在R上单调递增；条件q：存在实数m∈[-1，2]使得不等式a²-2a-5≤$\sqrt{{m^2}+5}$成立．如果“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据不等式的性质分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：若关于x的函数y=（10-a²）^x在R上单调递增，
则10-a²＞1，即a²＜9，则-3＜a＜3，即p：（-3，3）．
若存在实数m∈[-1，2]使得不等式a²-2a-5≤$\sqrt{{m^2}+5}$成立．
则等价为a²-2a-5≤（$\sqrt{{m^2}+5}$）_max，
∵m∈[-1，2]，∴（$\sqrt{{m^2}+5}$）_max=$\sqrt{4+5}=\sqrt{9}$=3，
即a²-2a-5≤3，
即a²-2a-8≤0，
解得-2≤a≤4，即q：[-2，4]，
若“p且q”为真命题，则p，q都为真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜3}\\{-2≤a≤4}\end{array}\right.$，即-2≤a＜3，
故实数a的取值范围是[-2，3）．

点评 本题主要考查复合命题之间的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．