Question

圆锥PO如图1所示，图2是它的正（主）视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A、B的一点，D为AC的中点．
（Ⅰ） 求该圆锥的侧面积S；
（Ⅱ） 求证：平面PAC⊥平面POD；
（Ⅲ） 若∠CAB=60°，求三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定圆的半径，求出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积S；
（Ⅱ） 连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；
（Ⅲ） 若∠CAB=60°利用等体积转化，可求三棱锥A-PBC的体积．

解答：（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高PO=

2

，圆O的直径为AB=2，故半径r=1．
∴圆锥的母线长PB=

PO2+OB2

=

2 2+12

=

3

，
∴圆锥的侧面积S=πrl=π×1×

3

=

3

π．             …（4分）
（Ⅱ）证明：连接OC，
∵OA=OC，D为AC的中点，∴OD⊥AC．
∵PO⊥圆O，AC?圆O，∴PO⊥AC．
∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD．
又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD…（8分）
（Ⅲ）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=60°，∴S△CAB=

3

2

∵PO=

2

∴三棱锥A-PBC的体积为

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

…（12分）

点评：本题考查三视图，考查面面垂直，考查侧面积与体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．