Question

圆锥PO如图1所示，图2是它的正（主）视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A、B的一点，D为AC的中点．

（Ⅰ） 求该圆锥的侧面积S；

（Ⅱ） 求证：平面PAC⊥平面POD；

（Ⅲ） 若∠CAB=60°，求三棱锥A﹣PBC的体积．

Answer 1

考点：

平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

综合题；空间位置关系与距离．

分析：

（Ⅰ）确定圆的半径，求出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积S；

（Ⅱ） 连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；

（Ⅲ） 若∠CAB=60°利用等体积转化，可求三棱锥A﹣PBC的体积．

解答：

（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高，圆O的直径为AB=2，故半径r=1．

∴圆锥的母线长，

∴圆锥的侧面积．             …（4分）

（Ⅱ）证明：连接OC，

∵OA=OC，D为AC的中点，∴OD⊥AC．

∵PO⊥圆O，AC⊂圆O，∴PO⊥AC．

∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD．

又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD…（8分）

（Ⅲ）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=60°，∴

∵PO=

∴三棱锥A﹣PBC的体积为=…（12分）

点评：

本题考查三视图，考查面面垂直，考查侧面积与体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．