Question

【题目】已知圆O：x2+y2=1过椭圆C： （a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1， 又∵线段PQ长度的最大值为3，
∴a+1=3，即a=2，
∴椭圆C的标准方程为 ．
（Ⅱ）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx﹣y+t=0，则 ，得k2=t2﹣1．①
联立得方程组 ，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．
其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0，
设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则 ， ，
则 ．②
将①代入②得 ，∴ ，
而 ，等号成立当且仅当 ，即 ．
综上可知：（S△OMN）max=1
【解析】（Ⅰ）由圆O过椭圆C的短轴端点b=1，线段PQ长度的最大值为3，a+1=3，a=2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线MN的方程，由点到直线的距离公式，求得k2=t2﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OMN的面积的最大值．