Question

9．已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面ADF；
（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N-ADF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AF⊥平面ABCD，得出AF⊥BD，再由BD⊥AD即可得出BD⊥平面ADF；
（2）N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，证明时利用正方形ABEF与平行四边形形ABCD的性质，得出四边形NFDM为平行四边形，从而证得MN∥DF，MN∥平面ADF，利用等积法求出三棱锥N-ADF的条件即可．

解答 解：（1）证明：正方形ABEF中，AF⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF?平面ABEF，
平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD；
又∵BD?平面ABCD，
∴AF⊥BD；
又BD⊥AD，AF∩AD=A，AF、AD?平面ADF，
∴BD⊥平面ADF；
（2）当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF；
证明如下：正方形ABEF中，NF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BA，
平行四边形形ABCD中，MD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BA，
∴NF$\stackrel{∥}{=}$MD，
∴四边形NFDM为平行四边形，
∴MN∥DF；
又DF?平面ADF，MN?平面ADF，
∴MN∥平面ADF，过D作DH⊥AB于H，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，
又DH?平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴DH⊥平面ABEF；
在Rt△ABD中，AB=2，BD=AD，
∴DH=1，
∴V_{三棱锥N-ADF}=V_{三棱锥D-ANF}
=$\frac{1}{3}$DH•S_△ANF
=$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{2}$×1×2
=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了利用等积法求三棱锥体积的应用问题，是综合性题目．