Question

19．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（-2，3），则|PQ|+|PF₁|的最小值为7．

Answer 1

分析 依题意，可求得F₁（-4，0），F₂（4，0），P在双曲线的右支上，利用双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=4，可求得|PF₁|=|PF₂|+4，从而可求得|PF₁|+|PQ|的最小值．

解答 解：由双曲线方程得a=1，c=2
∵P在双曲线的右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2，
∴|PF₁|=|PF₂|+2，
又双曲线右焦点F₂（2，0），
∴|PF₁|+|PQ|=|PF₂|+4+|PQ|≥|QF₂|+2
=$\sqrt{（-2-2）^{2}+{3}^{2}}$+2═5+2=7，（当且仅当Q、P、F₂三点共线时取“=”）．
则|PQ|+|PF₁|的最小值为7．
故答案为：7．

点评 本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线的定义将|PF₁|转化为|PF₂|+2是关键，考查转化思想与应用不等式的能力，属于中档题．