Question

7．以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 设正方形的边长为t，对角线的长为$\sqrt{2}$t，由椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式e=$\frac{2c}{2a}$，计算即可得到所求离心率的乘积．

解答 解：设正方形的边长为t，对角线的长为$\sqrt{2}$t，
以正方形的一条边的两个端点为焦点，
且过另外两个顶点的椭圆的离心率为${e_1}=\frac{t}{{\sqrt{2}t+t}}=\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}$，
双曲线的离心率为${e_2}=\frac{t}{{\sqrt{2}t-t}}=\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}$，
故它们的积为1，
故选A．

点评 本题考查椭圆和双曲线的离心率的乘积，注意运用正方形的性质和椭圆、双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．