Question

17．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为EC中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求四棱锥M-EFDA的体积．

Answer 1

分析 （I）连接ED，由中位线性质得MN∥ED，故MN∥平面EFDA；
（II）由平面EFCB⊥平面EFDA可知CF⊥平面EFDA，由M为EC中点得棱锥M-EFDA的高为CF的一半．

解答 证明：（Ⅰ）连接ED，
∵M，N分别是EC，CD的中点，
∴MN∥ED，又MN?平面EFDA，ED?平面EFDA
∴MN∥平面EFDA．
（Ⅱ）∵平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF?平面EFCB，
∴CF⊥平面EFDA，
∵M是EC的中点，
∴M到平面EFDA的距离h=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{3}{2}$．
∴V_M-EFDA=$\frac{1}{3}{S}_{梯形EFDA}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+3）×2×\frac{3}{2}$=2．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于基础题．