Question

8．已知点P和点Q的纵坐标相同，P的横坐标是Q的横坐标的3倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C₁和C₂，若C₁的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，则C₂的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

Answer 1

分析 设C₁的方程为y²-3x²=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C₂的渐近线方程．

解答 解：∵若C₁的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
∴设C₁的方程为y²-3x²=λ，
设Q（x，y），则P（x′，y′），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=y′}\\{x′=3x}\end{array}\right.$，
则x=$\frac{1}{3}$x′，即Q（$\frac{1}{3}$x′，y′），
代入y²-3x²=λ，可得y²-3×$\frac{1}{9}$x²=λ，
即y²-$\frac{1}{3}$x²=λ，
由y²-$\frac{1}{3}$x²=λ=0得y²=$\frac{1}{3}$x²，即y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
∴C₂的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

点评 本题主要考查双曲线渐近线方程的计算，根据坐标关系求出对应的轨迹方程是解决本题的关键．