Question

13．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，M为AB的中点．
（Ⅰ）证明：平面PMD⊥平面PAB
（Ⅱ）N为PC上一点，且AC⊥BN，PA=AB=2，求三棱锥N-BCD的体积．

Answer 1

分析 （I）连结BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥DM，由四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°可知△ABD为等边三角形，故DM⊥AB，于是DM⊥平面PAB，从而得出平面PMD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设AC与BD的交点为O，连接NO．则AC⊥BD，又AC⊥BN，故AC⊥平面BNO，所以AC⊥NO，又PA⊥AC，所以PA∥NO，得出N为PC中点，于是V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•NO$．

解答 证明：（I）连结BD．
∵PA⊥平面ABCD，DM?平面ABCD，
∴PA⊥DM，
又四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AB中点，∴DM⊥AB，
又PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DM⊥平面PAB，又DM?平面PMD，
∴平面PMD⊥平面PAB．
（Ⅱ）设AC与BD的交点为O，连接NO．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又AC⊥BN，NB?平面BON，BO?平面BON，BO∩BN=B，
∴AC⊥平面BNO，∵NO?平面BON，
∴AC⊥NO，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
又PA、NO在同一平面PAC内，
∴PA∥NO，又O为AC中点，
∴N为PC中点，
∴NO=$\frac{1}{2}$PA=1，NO⊥平面ABCD，
∴V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•NO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．