Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁，
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-AA₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由BB₁⊥平面ABC得BB₁⊥AC，由勾股定理的逆定理得AC⊥BC，故AC⊥平面BCC₁B₁，于是AC⊥BC₁；'
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，由中位线定理可得DE∥AC₁，于是AC₁∥平面CDB₁；
（3）由D为AB中点可知V${\;}_{D-A{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{B-AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{{C}_{1}-ABC}$．

解答 解：（1）证明：∵AC=3，AB=5，BC=4，∴AC⊥BC
∵BB₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，又BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥平面BCC₁B₁．∵BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．               
（2）证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴E是BC₁的中点，
∵D是AB的中点，
∴DE∥AC₁，又∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．                                    
（3）解：V${\;}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{B-AC{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•C{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×4=8$．
∵D是AB的中点，
∴V${\;}_{D-A{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}$=4．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．