Question

10．如图，在三棱锥P-AMC中，AC=AM=PM=2，PM⊥面AMC，AM⊥AC，B，D分别为CM，AC的中点．
（Ⅰ）在PC上确定一点E，使得直线PM∥平面ABE，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AE，与PD相交于点N，求三棱锥B-ADN的体积．

Answer 1

分析 （I）由线面平行的性质可知PM∥EB，故E为PC中点；
（II）由AE，PD为△PAC的中线可知N为△PAC的重心，故而ND=$\frac{1}{3}PD$，于是N到底面ACM的距离为$\frac{1}{3}$PM．代入体积公式得出体积．

解答 解：（Ⅰ）E为PC的中点．理由如下：
连接BE，∵B，E分别为CM，PC的中点，
∴BE∥PM，又BE?平面ABE，PM?平面ABE，
∴PM∥面ABE．
（Ⅱ）由于AE，PD分别是△PAC的边PC，AC上的中线，
∴AE和PD的交点N为△PAC的重心，∴DN=$\frac{1}{3}$PD．
∴N到平面AMC的距离h=$\frac{1}{3}PM$=$\frac{2}{3}$．
∵B，D是MC，AC的中点，
∴S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ACM=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×2×2=\frac{1}{2}$．
∴V_B-ADN=V_N-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．